证明布朗运动是鞅 :零点的概率(2015年04月08日)

7.5.3 的概率为零

如果矩 (tau) 使 (B(tau) = 0),则 (tau) 称为布朗运动零点。我们有以下定理。

定理7.10 令({B^x(t)}) 为从(x) 开始的布朗运动,则(B^x(t)) 在 中((0,t)) 中至少有一个零的概率是 [ frac{|x|}{sqrt{2pi}} int_0^t u^{-frac{3}{2 }} e^{-frac{x^2}{2u}} ,du .]

证明:如果(x,则由({B^x(t)})[ P{ B^x text{at}(0,t)text的连续性有在 {} } = P{ max_{0 leq s leq t} B^x(s) geq 0 },] 中至少有一个零证明布朗运动是鞅,因为 (B^x(t) = B ( t) + x),我们有

[begin{aligned} & P{ B^x text{ }(0,t) text{} 中至少有一个零 } \ =& P{ max_{0 leq s leq t} B^x(s) geq 0 } \ = & P{ max_{0 leq s leq t} B(s) + x geq 0 } = P { max_{0 leq s leq t} B(s) geq -x } \ =& P{T_{-x} leq t } = P{ T_x leq t } \ = & int_0^t f_{T_x}(u) , du = frac{|x|}{sqrt{2pi}} int_0^t u^{-frac{3}{2}} e ^ {-frac{x^2}{2u}} ,du .end{aligned}] (x >0) 情况的证明类似,结果相同。

使用该定理,可以证明以下定理。

定理7.11 (B(t))区间((a,b))中至少有一个零点的概率为[ frac{2}{pi} arccos sqrt{frac{a}{b}} .]

证明:记住 [ h(x) = P{ B text{in}(a,b) text{ 至少有一个零点} ;|; B(a) = x } , ]由对称性可知(h(-x) = h(x))。通过马尔科夫,[begin{aligned} h(x) =& P{ B^x text{ }(0,b-a) text{} } \ =& frac{| 中至少有一个零x|}{sqrt{2pi}} int_0^{b-a} u^{-frac{3}{2}} e^{-frac{x^2}{2u}} ,du 。 end{对齐}]

通过全期望公式 [begin{aligned} & P{ B text{in}(a,b) text{ 至少有一个零点} } \ =& int_{- infty }^{infty} P { B text{ 至少有一个零点} ;|; B(a) = x } f_{B(a)}(x) ,dx \ =& int_{-infty}^{infty} h(x) frac{1}{sqrt{ 2 pi a}} e^{-frac{x^2}{2 a}} ,dx =& frac{2}{sqrt{2 pi a}} int_0^{infty } h(x) e^{-frac{x^2}{2a}}dx \ =& frac{2}{sqrt{2 pi a}} int_0^{infty} frac{ x}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2a}} int_0^{b-a} u^{-frac{3}{2}} e^{- frac{x^2}{2u}} ,du ,dx \ =& frac{1}{ pi sqrt{a}} int_0^{b-a} u^{-frac{3}{ 2}} int_0^{infty} x e^{-x^2 (frac{1}{2u} + frac{1}{2a})} ,dx ,du \ =& frac{ 1}{pi sqrt{a}} int_0^{b-a} u^{-frac{3} {2}} frac{au}{a+u} ,du = frac{sqrt{ a}}{pi} int_0^{b-a} frac{u^{-frac{1}{ 2}}}{a+u} ,du \ =& frac{2sqrt{a }}{pi} int_0^{b-a} frac{d sqrt{u}}{a+u } = frac{2sqrt{a}}{pi} int_0^{sqrt{b-a }} frac{d v}{a + v^2} \ =& frac{2sqrt{a }}{pi} int_0^{frac{sqrt{b-a}}{sqrt{a }}} frac{sqrt{a} dw}{a(1 + w^2)} = f rac{2}{pi} int_0^{frac{sqrt{b-a}} {sqrt{a}}} frac{ dw}{1 + w^2} \ =& frac{2} {pi} arctanfrac{sqrt{b-a}}{sqrt{a} } = frac{2}{pi} arcc os sqrt{frac{a}{b}} .end{aligned}] 这里使用 (int frac{1}{1 + w^2} dw = arctan w),如果 (y = arctan sqrt{frac{b-a}{a} })证明布朗运动是鞅,然后 (1 + tan y^2 = frac{1}{cos^2 y} = frac{b}{ a}) 因此(y = arccos sqrt{frac {a}{b}})。

○○○○○○

所以,我们得到了布朗运动的反正弦定律。

定理7.12 令 ({B(t), t geq 0}) 为布朗运动,则 [ P{ B(t) text{at} (a, b) text{} } = frac{2}{pi} arcsin sqrt{frac{a}{b}} .]

中没有零

下面描述布朗运动在时间(t)之前的最后一个零点和(t)之后的第一个零点的分布。让[begin{对齐} zeta_t =& sup { s leq t, B(s) = 0 } =ttext{最后一个零之前}, \ beta_t =& inf{ s geq t, B(s) = 0 } =t text{}之后的第一个零点,end{aligned}] 注意(beta_t)是一个停止时间,而(zeta_t ) 不是停止时间(请验证读者)。根据反正弦定律,有 [begin{aligned} & P { zeta_t leq x } = P {B text{no zeros in}(x,t)text{} } = frac{2}{ pi} arcsin sqrt{frac{x}{t}} , \ & P { beta_t geq y } = P {B text{in}(t,y ) text{无零点} } = frac{2}{pi} arcsin sqrt{frac{t}{y}} , \ & P { zeta_t leq x, beta_t geq y } = P { B text{no zeros in}(x,y) text{} } = frac{2}{pi} arcsinsqrt{frac{x}{y} } .end{ 对齐}]

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THE END
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